ESPACIOS VECTORIALES
Es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna (llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y una operación externa (llamada producto por un escalar, definida entre dicho conjunto y otro conjunto, con estructura de cuerpo), con 10 propiedades fundamentales.
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1. Si x Є V y y Є V, entonces x+ y Є V (Cerradura bajo la suma).
(3,2,1)+ (1,2,3) = (4,4,4)
2. Para todo x,y ,zen V, (x+y) +z=x+ (y+z) (Ley asociativa de la suma de vectores )
((3,2,1)+ (1,2,3))+(4,5,6) = (3,2,1)+ ((1,2,3)+(4,5,6))
(8,9,10) = (8,9,10)
3. Existe un vector 0 Є V tal que para todo x Є V, x + 0 = 0 +x=x
(3,2,1)+ (0) = (3,2,1)
4. Si x Є V, existe un vector – x en V tal que x + ( – x ) = 0(–x se llama inverso aditivo de x )
(3,2,1)+ (-(1,2,3)) = 0
5. Si x y y están en V, entonces x + y = y + x . (Ley conmutativa de la suma de vectores).
(1,2,3) +(3,2,1) = (4,4,4)
6. Si x Є V y α es un escalar, entonces αxЄ V (Cerradura bajo la multiplicación por un escalar).
(3,2,1)*2 = (6,4,2)
7. Si x y y están en Vy a es un escalar, entonces a(x + y) = ax + ay (Primer Ley Distributiva).
3*((3,2,1)+ (1,2,3)) = 3*(3,2,1)+ 3*(1,2,3) = (6,4,2) + (2,4,6) = (8,8,8)
8. Si x Є V y α y β son escalares, entonces (α + β)x = αx + βx (Segunda ley distributiva)
(2+3)(3,2,1) = 2*(3,2,1)+3*(3,2,1) = (15,10,5)
9. Si x Є V y α y β son escalares, entonces α(βx) = (αβ)x (Ley asociativa de la multiplicación por escalares)
(2)(3*(3,2,1)) = (2*3)(3,2,1)) = (15,10,5)
10. Para cada vector x Є V, 1x = x.
1*(3,2,1) = (3,2,1)
(3,2,1) = (3,2,1)
Aquí les comparto un vídeo relacionado al tema de Axiomas de un espacio vectorial , para referencia del tema visto.
